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開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)

發(fā)布時間:2020-05-01 來源:Christophe Basso 責任編輯:wenwei

【導(dǎo)讀】如果采用網(wǎng)格節(jié)點(mesh-node)分析能很好地求解電路的傳遞函數(shù),那么立即獲得一個有意義的符號公式通常是不可能的,需要額外的工作才能得出。應(yīng)用經(jīng)典的分析技術(shù)來獲得所謂的低熵表達式–即分數(shù)形式,從中您可識別增益、極點和零點–往往導(dǎo)致如Middlebrook博士曾在他的文獻[1]、[2]中提到的代數(shù)失效(algebraic paralysis)。
 
在此,快速分析電路技術(shù)(FACTs)可幫助您基于您在大學(xué)里學(xué)到的東西而擴展,以大大簡化分析。通過使用FACTs,不僅加快您的執(zhí)行速度,而且最終結(jié)果將以有序的多項式形式出現(xiàn),通常無需進一步的因子分解工作[3]、[4]。
 
本文首先介紹后文用于確定開關(guān)轉(zhuǎn)換器的控制到輸出傳遞函數(shù)的FACTs。這個主題很大,在此我們只談及表面,希望激勵您進一步挖掘這個主題。我們選擇了電壓模式耦合電感單端初級電感轉(zhuǎn)換器(SEPIC)工作于非連續(xù)導(dǎo)電模式(DCM)。PWM開關(guān)[5]將用于形成小信號模型。
 
01 快速分析技術(shù)(FACTs)簡介
 
FACTs背后的基本原理在于電路時間常數(shù)的確定–t=RC或t=L/R–此時在兩種不同的條件下觀察所研究的電路:當激勵信號降至0時和響應(yīng)清零時。通過使用這種技術(shù),您將體會到確定特定傳遞函數(shù)有多快和直觀。基于這種方法的分析技術(shù)始于幾十年前,如[6]和[7]中記載的。
 
傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)關(guān)系,它把激勵信號、激勵物,和由這種激勵產(chǎn)生的響應(yīng)信號聯(lián)系起來。如果我們考慮一個線性時不變(LTI)系統(tǒng)無延時,具有靜態(tài)增益H0–例如開關(guān)轉(zhuǎn)換器的線性理想功率級-其連接控制信號Verr(激勵)和輸出Vout(響應(yīng))的傳遞函數(shù)H可表示為:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(1)
 
首項H0是系統(tǒng)在s=0評估表現(xiàn)出的增益或衰減。該項將帶傳遞函數(shù)的單位(或維度),如果有的話。如果響應(yīng)和激勵都用伏特表示,在此我們表示為Verr和Vout,H是沒有單位的。分子N(s)控制傳遞函數(shù)的零點。數(shù)學(xué)意義上,零點是函數(shù)幅值為零的根。通過FACTs,我們用數(shù)學(xué)抽象思維以輕松地揭開這些零點。我們不會像通常在諧波分析(s=jw)中所做的僅僅考慮在s平面的垂直軸,而是覆蓋考慮到負數(shù)根的整個平面。
 
因此,如果電路存在零點,將表現(xiàn)為當輸入信號調(diào)到零角頻率sz時無信號的輸出響應(yīng)。在這種情況下,在變形的電路中的一些阻抗阻擋了信號傳播,響應(yīng)為零,盡管存在激勵源:當變形的電路在s=sz點被激勵時,在信號路徑的串聯(lián)阻抗趨于無窮或分支將該激勵分流到地面。
 
請注意,這種方便的數(shù)學(xué)抽象通過觀察提供了巨大的幫助來找到零點,通常無需寫一行無源電路的代數(shù)。圖1提供了簡單的流程圖,詳細介紹了過程。關(guān)于這種方法的更多細節(jié)見[8]。
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)
圖1:這個簡單的流程圖將指導(dǎo)您用最簡單的方法確定零點。在觀察無用時,您將需要進行雙重抵消注入或NDI。
 
翻譯參考▽
 
●   Bring the excitation signal – the stimulus – back in place:將該激勵信號 – 激勵-帶回原處
●   Null the output:將輸出清零
●   Identify in the transformed network, one or several impedances combinations that could block the stimulus propagation: a ●   transformed open circuit or a transformed short circuit.:在變形的電路中找到一個或一些可阻擋激勵傳播的阻抗組合:一個變形的開路電路或變形的短路電路
●   Signal:信號
●   To response : 到響應(yīng)
●   If inspection is not possible, go for a Null Double Injection(NDI):若觀察無用,則進行雙重抵消注入(NDI)
 
分母D(s)由電路自然時間常數(shù)構(gòu)成。通過設(shè)置激勵信號為0和確定從電路中臨時移除的所考慮的電容或電感“所示”的阻抗,來得出這些時間常數(shù)。
 
通過“觀察”,您可想象把一個歐姆表置于暫時移除的儲能元件(C或L),并讀取它顯示的電阻。這其實是個相當簡單的運用,正如圖2中的第二個流程圖所詳述的。
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)
圖2:該流程圖解釋了用于確定電路時間常數(shù)的方法。
 
翻譯參考▽
 
●   Count energy-storing elements with independent state variables:計算具有獨立狀態(tài)變量的儲能元件
●   Assume there are two energy-storing element, L1 and C2:假設(shè)有兩個儲能元件,L1和C2
●   The denominator follow the form:分母遵循此公式
●   Open the capacitor, short the inductor, determine the dc gain H0 if it exists:電容開路,電感短路,確定直流增益H0,若H0存在
●   Reduce the excitation to 0 and determine time constants for b1 and b2:減小激勵至零,并確定b1和b2的時間常數(shù)
●   Determine the resistance Ri driving LI while C2 is open circuited:確定驅(qū)動L1而C2 開路時的阻抗Ri
●   Determine the resistance Rj driving C2 while LI is short circuited:確定驅(qū)動C2 而L1短路時的阻抗Rj
●   Sum the time constants:將時間常數(shù)相加
●   Determine the resistance Rk driving LI while C2 is short circuited:確定驅(qū)動L1而C2 短路時的阻抗Rk
●   Determine the resistance Rl driving C2 while LI is open circuited:確定驅(qū)動C2 而L1開路時的阻抗Rl
●   Choose the simplest combination:選擇最簡單的組合
 
看到圖3,是一個涉及注入源的一階無源電路—該激勵源—加偏壓于左邊網(wǎng)絡(luò)。輸入信號Vin通過網(wǎng)格和節(jié)點傳播,形成您看到的電阻R3上的響應(yīng)Vout。我們感興趣的是導(dǎo)出連接Vout和Vin的傳遞函數(shù)G。
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)
圖3:確定電路的時間常數(shù)需要將激勵源設(shè)為0,并看看從電路中暫時移除的能量存儲元件所提供的電阻。
 
翻譯參考▽
 
●   The response:響應(yīng)
 
為確定本例電路的時間常數(shù),我們將激勵源設(shè)為0(由短路代替0V電壓源,開路代替0A電流源),拆下電容器。然后,我們連接一個歐姆表來確定電容器端提供的電阻。圖4指導(dǎo)您進行這些步驟。
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)
圖4:由短路代替0V源后確定電容器端的電阻。
 
翻譯參考▽
 
●   The excitation is set to 0:激勵源設(shè)為零
●   For example:例如
 
如果用圖4的做法,您“看到” R1與R2并聯(lián)后與R4串聯(lián),所有這些與R3并聯(lián)后與rC串聯(lián)。該電路的時間常數(shù)只通過R和C1即可計算得出:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(2)
 
我們可證明第一階系統(tǒng)的極點是其時間常數(shù)的倒數(shù)。因此:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(3)
 
現(xiàn)在,s=0時該電路的準靜態(tài)增益是多少?在直流條件下,電感器短路,電容器開路。把這概念應(yīng)用于圖3的電路,繪制成如圖5所示。想象在R4前斷開連接,會看到一個含R1和R2的電阻分壓器。R2上的戴維寧(Thévenin)電壓為:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(4)
 
輸出電阻Rth是R1與R2并聯(lián)的值。因此完整的傳遞函數(shù)涉及到電阻分壓器(由與Rth串聯(lián)的R4和加載的R3所構(gòu)成)。rC是斷開的,由于電容C1在這直流分析中被移除。因此:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(5)
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)
圖5:您斷開直流電路中的電容器,計算這簡單的電阻配置的傳遞函數(shù)。  
 
基本就是這些了,我們正錯過零點。我們在前文提到,零點通過阻斷激勵信號的傳播而在電路中表現(xiàn)出來,產(chǎn)生一個無信號的輸出響應(yīng)(見圖1)。
 
若我們考慮一個變形的電路–其中C1由代替–如圖6,當激勵源加偏壓于電路,有什么特定的條件意味著無信號響應(yīng)?無信號響應(yīng)只意味流過R3的電流為0。這不是短路,而是相當于虛擬的接地。
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)
圖6:在這變形的電路中,當串聯(lián)的rC和C1轉(zhuǎn)化為變形的短路,響應(yīng)消失,R3中無電流流過。
 
如果在R3中沒有電流,那么串聯(lián)的rC和轉(zhuǎn)化為短路:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(6)
 
根sz是我們想要的零點位置:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(7)
 
從而有:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(8)
 
現(xiàn)在我們可組合所有這些結(jié)果,形成以圖3電路為特征的最終的傳遞函數(shù):
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(9)
 
這就是所謂的低熵表達式,從中您可立即識別靜態(tài)增益G0、極點wp和零點wz。高熵表達式將在考慮阻抗分壓器時通過施加大規(guī)模外力到原來的電路來獲得,如:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(10)
 
您不只在推導(dǎo)表達式時可能會出錯—而且將結(jié)果格式化到像(9)這樣需要更多的精力。另外,請注意,在這特定的例子中,在寫(9)時我們沒有寫一行代數(shù)。如果我們后來發(fā)現(xiàn)一個錯誤,那么很容易回到一個單獨的圖紙并單獨修復(fù)它。(9)的校正很簡單?,F(xiàn)嘗試對(10)進行相同的修正,您可能會從頭開始。
 
02 FACTs應(yīng)用于二階系統(tǒng)
 
FACTs同樣適用于n階無源或有源電路。通過計算狀態(tài)變量是獨立的儲能元件的數(shù)量來確定電路的階數(shù)。若我們考慮一個具有有限的靜態(tài)增益H0的二階系統(tǒng),其傳遞函數(shù)可表示如下:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(11)
 
當H0帶傳遞函數(shù)的單位,那么N:D的比值是沒有單位的。這意味著a1和b1的單位是時間[s]。當a1無信號響應(yīng),b1的激勵源為零,您將確定的時間常數(shù)相加。
 
對于二階系數(shù),a2或b2,維度是時間的平方[s²],你將時間常數(shù)結(jié)合為一個產(chǎn)物。然而,在這時間常數(shù)產(chǎn)物中,您重用了已經(jīng)確定為a1或b1的一個時間常數(shù),而二階時間常數(shù)的確定需要一個不同的符號:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(12)
 
在這個定義中,您設(shè)置標號出現(xiàn)在“冪” 中的儲能元件處于高頻狀態(tài)(電容被短路,電感被開路),當我們暫時從電路中移除二階元件端(參見下標),您可從中確定電阻。當a2必須為無信號的輸出和b2的激勵源減為0時,您可運用此法。
 
當然,當觀察有用時,它總是最快和最高效的得出N的方法。乍一看有點難以理解,但沒有什么不可克服的,我們用幾句話解釋您就會明白。
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)
圖7:工作于CCM的降壓轉(zhuǎn)換器的輸出阻抗的確定是一個很好的例子,演示了FACTs如何簡化分析。
 
翻譯參考▽
 
●   Voltage-mode:電壓模式
●   Small-signal mode:小信號模式
 
圖7是一個經(jīng)典的二階濾波器,用于確定在連續(xù)導(dǎo)通模式(CCM)中工作的電壓模式降壓轉(zhuǎn)換器的輸出阻抗。阻抗是連接一個激勵信號Iout與響應(yīng)信號Vout的一個傳遞函數(shù)。
 
此處,Iout是我們已安裝的測試生成器,而Vout是其兩端產(chǎn)生的電壓。要從(11)中確定各種系數(shù),我們可按照圖2的流程圖,從s = 0開始:如圖所示,電感短路,電容開路。該電路是簡單的,電流源的電阻R0不過是rL和Rload簡單的并列組合:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(13)
 
這個電路中有零點嗎?我們看看圖8所示的變形電路。我們看看當激勵源電流Iout調(diào)為零角頻率sz時,什么樣的元件組合將使響應(yīng)Vout為零。我們可發(fā)現(xiàn)兩個變形的短路涉及rL–L1和rc–C2。
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)
圖8:如果阻抗Z1或Z2轉(zhuǎn)換為短路,響應(yīng)Vout為無信號輸出。
 
立即確定這兩個阻抗的根:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(14)
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(15)
 
因此分母N(s)表示為
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(16)
 
分母D(s)的一階系數(shù)b1是由L1兩端的阻抗提供,而C2處于直流狀態(tài)(開路):有t1。然后看驅(qū)動C2而L1設(shè)置為直流狀態(tài)(短路)時的阻抗:得出t2。如圖9所示,從該草圖可立即得出b1的定義:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(17)
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)
圖9:在選定的組件終端中,當?shù)诙€組件處于直流狀態(tài)時,您會得出阻抗為多少?
 
二階系數(shù)b2是用(12)中引入的符號來確定的。L1設(shè)置在其高頻狀態(tài)(開路),驅(qū)動C2以得到的阻抗,C2處于高頻狀態(tài)(短路),則驅(qū)動L1而得到的阻抗。圖10顯示了兩種可能的整理結(jié)果。
 
您通常選擇最簡單的表達式,或避免不確定性的一個,如果有的話(如∞×0或∞/∞)。下面對于b2的兩個定義是相同的,您看上面的是最簡單的:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(18)
 
現(xiàn)在我們有所有的成分來組合最終的傳遞函數(shù),定義為:
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)(19)
 
我們已經(jīng)確定了這個傳遞函數(shù),而沒有寫一行代數(shù),只是拆分該電路為幾個簡單的草圖個別解決。
 
此外,正如預(yù)期的那樣,(19)已經(jīng)是一個規(guī)范的表達式,您可輕易的看到一個靜態(tài)增益、兩個零點和一個可用一個諧振分量w0和一個品質(zhì)因數(shù)Q進一步整理的二階分母。如果不是迅速考慮Z1、Z2 和Rload的并聯(lián)組合,我們不可能得到這一結(jié)果。
 
開關(guān)轉(zhuǎn)換器動態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(1)
圖10:在選定的組件終端中,當?shù)诙€組件處于高頻狀態(tài)時,您會得出阻抗為多少?
 
采用FACTs,通過觀察可導(dǎo)出傳遞函數(shù),特別是對于無源電路。由于電路復(fù)雜,包括電壓或電流控制源,觀察起來沒那么明顯,您需要利用經(jīng)典的網(wǎng)格和節(jié)點分析。但FACTs提供了幾個優(yōu)點:由于您將電路拆分為用于確定最終的多項式表達式系數(shù)的小的單個草圖,因此如果在最終的表達式中發(fā)現(xiàn)一個錯誤,您總是可以回到一個特定的繪圖并個別修正。
 
此外,當您確定與傳遞函數(shù)的ai和bi相關(guān)的項時,您自然會得到一個多項式表達式,而不用投入進一步的精力來收集和重新排列這些項。最后,如[4]所示,在復(fù)雜的無源和有源電路中,SPICE對驗證個別極點和零點的計算有很大幫助。
 
未完待續(xù),下周六見...
 
References
 
參考文獻
 
1. R. D. Middlebrook, Methods of Design-Oriented Analysis: Low-Entropy Expressions, Frontiers in Education Conference, Twenty-First Annual conference,  Santa-Barbara, 1992.
2. R. D. Middlebrook, Null Double Injection and the Extra Element Theorem, IEEE Transactions on Education, Vol. 32, NO. 3, August 1989.
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5. V. Vorpérian, Simplified Analysis of PWM Converters Using the Model of the PWM Switch, Parts I and II, Transactions on Aerospace and Electronics Systems, vol. 26, no. 3, May 1990.
6. D. Feucht, Design-Oriented Circuit Dynamics, http://www.edn.com/electronics-blogs/outside-the-box-/4404226/Design-oriented-circuit-dynamics
7. D. Peter, We Can do Better: A Proven, Intuitive, Efficient and Practical Design-Oriented Circuit Analysis Paradigm is Available, so why aren''''''''t we using it to teach our Students?,
http://www.icee.usm.edu/ICEE/conferences/asee2007/papers/1362_WE_CAN_DO_BETTER__A_PROVEN__INTUITIVE__E.pdf
8. C. Basso, Fast Analytical Techniques at Work with Small-Signal Modeling, APEC Professional Seminar, Long Beach (CA), 2016, http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm
9. J. Betten, Benefits of a  coupled-inductor SEPIC, slyt411, application note, Texas-Instruments.
10. C. Basso, Switch-Mode Power Supplies: SPICE Simulation and Practical Designs, McGraw-Hill, 2nd edition, 2014.
11. D. Maksimovic, R. Erickson, Advances in Averaged Switch Modeling and Simulation, Power Electronic Specialist Conference Professional Seminar, Charleston, 1999
 
作者簡介
 
Christophe Basso
 
安森美半導(dǎo)體法國圖盧茲 Technical Fellow
 
他擁有超過20年的電子電路設(shè)計經(jīng)驗,在電力電子轉(zhuǎn)換領(lǐng)域擁有近30項專利,他原創(chuàng)了許多集成電路芯片,其中代表性為NCP120X系列,它重新定義了電源低待機功耗設(shè)標準。
 
Christophe Basso出版了多部著作,《開關(guān)模式 SPICE 仿真和實用設(shè)計》深受廣大工程師的歡迎并二次改版,《為線性和開關(guān)電源設(shè)計控制回路:教程指南》為工程師設(shè)計補償和環(huán)路穩(wěn)定性提供了實用指南,《線性電路傳遞函數(shù):介紹快速分析技術(shù)》以說教的方式,為學(xué)生和需要強大的工具以快速分析日常工作中的復(fù)雜電子電路的工程師提供對電路分析的不同角度。
 
 
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