事實證明，史密斯圓圖仍然是確定傳輸線阻抗的基本工具。

 

在處理RF系統(tǒng)的實際應(yīng)用問題時，總會遇到一些非常困難的工作，對各部分級聯(lián)電路的不同阻抗進行匹配就是其中之一。一般情況下，需要進行匹配的電路包括天線與低噪聲放大器(LNA)之間的匹配、功率放大器輸出(RFOUT)與天線之間的匹配、LNA/VCO輸出與混頻器輸入之間的匹配。匹配的目的是為了保證信號或能量有效地從“信號源”傳送到“負載”。

 

在高頻端，寄生元件(比如連線上的電感、板層之間的電容和導(dǎo)體的電阻)對匹配網(wǎng)絡(luò)具有明顯的、不可預(yù)知的影響。頻率在數(shù)十兆赫茲以上時，理論計算和仿真已經(jīng)遠遠不能滿足要求，為了得到適當(dāng)?shù)淖罱K結(jié)果，還必須考慮在實驗室中進行的RF測試、并進行適當(dāng)調(diào)諧。需要用計算值確定電路的結(jié)構(gòu)類型和相應(yīng)的目標元件值。

 

有很多種阻抗匹配的方法，包括

 

● 計算機仿真： 由于這類軟件是為不同功能設(shè)計的而不只是用于阻抗匹配，所以使用起來比較復(fù)雜。設(shè)計者必須熟悉用正確的格式輸入眾多的數(shù)據(jù)。設(shè)計人員還需要具有從大量的輸出結(jié)果中找到有用數(shù)據(jù)的技能。另外，除非計算機是專門為這個用途制造的，否則電路仿真軟件不可能預(yù)裝在計算機上。

 

● 手工計算： 這是一種極其繁瑣的方法，因為需要用到較長(“幾公里”)的計算公式、并且被處理的數(shù)據(jù)多為復(fù)數(shù)。

 

● 經(jīng)驗： 只有在RF領(lǐng)域工作過多年的人才能使用這種方法?？傊贿m合于資深的專家。

 

● 史密斯圓圖：本文要重點討論的內(nèi)容。

 

本文的主要目的是復(fù)習(xí)史密斯圓圖的結(jié)構(gòu)和背景知識，并且總結(jié)它在實際中的應(yīng)用方法。討論的主題包括參數(shù)的實際范例，比如找出匹配網(wǎng)絡(luò)元件的數(shù)值。當(dāng)然，史密斯圓圖不僅能夠為我們找出最大功率傳輸?shù)钠ヅ渚W(wǎng)絡(luò)，還能幫助設(shè)計者優(yōu)化噪聲系數(shù)，確定品質(zhì)因數(shù)的影響以及進行穩(wěn)定性分析。

 

圖1. 阻抗和史密斯圓圖基礎(chǔ)

 

基礎(chǔ)知識

 

在介紹史密斯圓圖的使用之前，最好回顧一下RF環(huán)境下(大于100MHz) IC連線的電磁波傳播現(xiàn)象。這對RS-485傳輸線、PA和天線之間的連接、LNA和下變頻器/混頻器之間的連接等應(yīng)用都是有效的。

 

大家都知道，要使信號源傳送到負載的功率最大，信號源阻抗必須等于負載的共軛阻抗，即：

 

RS + jXS = RL - jXL

 

圖2. 表達式RS + jXS = RL - jXL的等效圖

 

在這個條件下，從信號源到負載傳輸?shù)哪芰孔畲蟆Ａ硗?，為有效傳輸功率，滿足這個條件可以避免能量從負載反射到信號源，尤其是在諸如視頻傳輸、RF或微波網(wǎng)絡(luò)的高頻應(yīng)用環(huán)境更是如此。

 

史密斯圓圖

 

史密斯圓圖是由很多圓周交織在一起的一個圖。正確的使用它，可以在不作任何計算的前提下得到一個表面上看非常復(fù)雜的系統(tǒng)的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿著圓周線讀取并跟蹤數(shù)據(jù)。

 

史密斯圓圖是反射系數(shù)(伽馬，以符號Γ表示)的極座標圖。反射系數(shù)也可以從數(shù)學(xué)上定義為單端口散射參數(shù)，即s11。

 

史密斯圓圖是通過驗證阻抗匹配的負載產(chǎn)生的。這里我們不直接考慮阻抗，而是用反射系數(shù)ΓL，反射系數(shù)可以反映負載的特性(如導(dǎo)納、增益、跨導(dǎo))，在處理RF頻率的問題時ΓL更加有用。

 

我們知道反射系數(shù)定義為反射波電壓與入射波電壓之比：

 

圖3. 負載阻抗

 

負載反射信號的強度取決于信號源阻抗與負載阻抗的失配程度。反射系數(shù)的表達式定義為：

 

 

由于阻抗是復(fù)數(shù)，反射系數(shù)也是復(fù)數(shù)。

 

為了減少未知參數(shù)的數(shù)量，可以固化一個經(jīng)常出現(xiàn)并且在應(yīng)用中經(jīng)常使用的參數(shù)。這里Z0 (特性阻抗)通常為常數(shù)并且是實數(shù)，是常用的歸一化標準值，如50Ω、75Ω、100Ω和600Ω。于是我們可以定義歸一化的負載阻抗：

 

 

據(jù)此，將反射系數(shù)的公式重新寫為：

 

 

從上式我們可以看到負載阻抗與其反射系數(shù)間的直接關(guān)系。但是這個關(guān)系式是一個復(fù)數(shù)，所以并不實用。我們可以把史密斯圓圖當(dāng)作上述方程的圖形表示。

 

為了建立圓圖，方程必需重新整理以符合標準幾何圖形的形式(如圓或射線)。

 

首先，由方程2.3求解出；

 

 

并且

 

 

令等式2.5的實部和虛部相等，得到兩個獨立的關(guān)系式：

 

 

重新整理等式2.6，經(jīng)過等式2.8至2.13得到最終的方程2.14。這個方程是在復(fù)平面(Γr, Γi)上、圓的參數(shù)方程(x - a)² + (y - b)² = R²，它以[r/(r + 1), 0]為圓心，半徑為1/(1 + r)。

 

 

更多細節(jié)參見圖4a

 

圖4a. 圓周上的點表示具有相同實部的阻抗

 

例如，r = 1的圓，以(0.5, 0)為圓心，半徑為0.5。它包含了代表反射零點的原點(0, 0) (負載與特性阻抗相匹配）。以(0, 0)為圓心、半徑為1的圓代表負載短路。負載開路時，圓退化為一個點(以1, 0為圓心，半徑為零)。與此對應(yīng)的是最大的反射系數(shù)1，即所有的入射波都被反射回來。 

 

在作史密斯圓圖時，有一些需要注意的問題。下面是最重要的幾個方面：

 

● 所有的圓周只有一個相同的，唯一的交點(1, 0)。

● 代表0Ω、也就是沒有電阻(r = 0)的圓是最大的圓。

● 無限大的電阻對應(yīng)的圓退化為一個點(1, 0)

● 實際中沒有負的電阻，如果出現(xiàn)負阻值，有可能產(chǎn)生振蕩。

● 選擇一個對應(yīng)于新電阻值的圓周就等于選擇了一個新的電阻。

 

作圖

 

經(jīng)過等式2.15至2.18的變換，2.7式可以推導(dǎo)出另一個參數(shù)方程，方程2.19。

 

 

同樣，2.19也是在復(fù)平面(Γr, Γi)上的圓的參數(shù)方程(x - a)² + (y - b)² = R²，它的圓心為(1, 1/x)，半徑1/x。

 

更多細節(jié)參見圖4b

 

圖4b. 圓周上的點表示具有相同虛部x的阻抗

 

例如，× = 1的圓以(1, 1)為圓心，半徑為1。所有的圓(x為常數(shù))都包括點(1, 0)。與實部圓周不同的是，x既可以是正數(shù)也可以是負數(shù)。來源于濾波器公眾平臺提醒 這說明復(fù)平面下半部是其上半部的鏡像。所有圓的圓心都在一條經(jīng)過橫軸上1點的垂直線上。

 

完成圓圖

 

為了完成史密斯圓圖，我們將兩簇圓周放在一起。可以發(fā)現(xiàn)一簇圓周的所有圓會與另一簇圓周的所有圓相交。若已知阻抗為r + jx，只需要找到對應(yīng)于r和x的兩個圓周的交點就可以得到相應(yīng)的反射系數(shù)。

 

可互換性

 

上述過程是可逆的，如果已知反射系數(shù)，可以找到兩個圓周的交點從而讀取相應(yīng)的r和×的值。過程如下：

 

● 確定阻抗在史密斯圓圖上的對應(yīng)點

● 找到與此阻抗對應(yīng)的反射系數(shù)(Γ)

● 已知特性阻抗和Γ，找出阻抗

● 將阻抗轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納

● 找出等效的阻抗

● 找出與反射系數(shù)對應(yīng)的元件值(尤其是匹配網(wǎng)絡(luò)的元件，見圖7)

 

推論

 

因為史密斯圓圖是一種基于圖形的解法，所得結(jié)果的精確度直接依賴于圖形的精度。下面是一個用史密斯圓圖表示的RF應(yīng)用實例：

 

例： 已知特性阻抗為50Ω，負載阻抗如下：

 

 

對上面的值進行歸一化并標示在圓圖中(見圖5)：

 

圖5. 史密斯圓圖上的點

 

現(xiàn)在可以通過圖5的圓圖直接解出反射系數(shù)Γ。畫出阻抗點(等阻抗圓和等電抗圓的交點)，只要讀出它們在直角坐標水平軸和垂直軸上的投影，就得到了反射系數(shù)的實部Γr和虛部Γi (見圖6)。

 

該范例中可能存在八種情況，在圖6所示史密斯圓圖上可以直接得到對應(yīng)的反射系數(shù)Γ：

 

圖6. 從X-Y軸直接讀出反射系數(shù)Γ的實部和虛部

 

用導(dǎo)納表示

 

史密斯圓圖是用阻抗(電阻和電抗)建立的。一旦作出了史密斯圓圖，就可以用它分析串聯(lián)和并聯(lián)情況下的參數(shù)。這篇文是轉(zhuǎn)自濾波器公眾平臺，它提醒說可以添加新的串聯(lián)元件，確定新增元件的影響只需沿著圓周移動到它們相應(yīng)的數(shù)值即可。然而，增加并聯(lián)元件時分析過程就不是這么簡單了，需要考慮其它的參數(shù)。通常，利用導(dǎo)納更容易處理并聯(lián)元件。

 

我們知道，根據(jù)定義Y = 1/Z，Z = 1/Y。導(dǎo)納的單位是姆歐或者Ω-1 (現(xiàn)在導(dǎo)納的單位是西門子或S)。并且，如果Z是復(fù)數(shù)，則Y也一定是復(fù)數(shù)。

 

所以Y = G + jB (2.20)，其中G叫作元件的“電導(dǎo)”，B稱“電納”。在演算的時候應(yīng)該小心謹慎，按照似乎合乎邏輯的假設(shè)，可以得出：G = 1/R及B = 1/X，然而實際情況并非如此，這樣計算會導(dǎo)致結(jié)果錯誤。

 

用導(dǎo)納表示時，第一件要做的事是歸一化， y = Y/Y0，得出y = g + jb。但是如何計算反射系數(shù)呢？通過下面的式子進行推導(dǎo)：

 

 

結(jié)果是G的表達式符號與z相反，并有Γ(y) = -Γ(z)。

 

如果知道z，就能通過將Γ的符號取反找到一個與(0, 0)的距離相等但在反方向的點。圍繞原點旋轉(zhuǎn)180°可以得到同樣的結(jié)果(見圖7)。

 

圖7. 180°度旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果

 

當(dāng)然，表面上看新的點好像是一個不同的阻抗，實際上Z和1/Y表示的是同一個元件(這個新值在圓圖上呈現(xiàn)為一個不同的點，而且反射系數(shù)也不相同，依次類推)。這篇文是轉(zhuǎn)自濾波器公眾平臺，它提醒說出現(xiàn)這種情況的原因是我們的圖形本身是一個阻抗圖，而新的點代表的是一個導(dǎo)納。因此在圓圖上讀出的數(shù)值單位是西門子。

 

盡管用這種方法就可以進行轉(zhuǎn)換，但是在解決很多并聯(lián)元件電路的問題時仍不適用。

 

導(dǎo)納圓圖

 

在前面的討論中，我們看到阻抗圓圖上的每一個點都可以通過以Γ復(fù)平面原點為中心旋轉(zhuǎn)180°后得到與之對應(yīng)的導(dǎo)納點。于是，將整個阻抗圓圖旋轉(zhuǎn)180°就得到了導(dǎo)納圓圖。這篇文是轉(zhuǎn)自濾波器公眾平臺，它提醒說這種方法十分方便，它使我們不用建立一個新圖。所有圓周的交點(等電導(dǎo)圓和等電納圓)自然出現(xiàn)在點(-1, 0)。使用導(dǎo)納圓圖，使得添加并聯(lián)元件變得很容易。在數(shù)學(xué)上，導(dǎo)納圓圖由下面的公式構(gòu)造：

 

 

解這個方程：

 

 

接下來，令方程3.3的實部和虛部相等，我們得到兩個新的獨立的關(guān)系：

 

 

從等式3.4，我們可以推導(dǎo)出下面的式子：

 

 

它也是復(fù)平面(Γr, Γi)上圓的參數(shù)方程(x - a)² + (y - b)² = R² (方程3.12)，以[-g/(g + 1), 0]為圓心，半徑為1/(1 + g)。

 

從等式3.5，我們可以推導(dǎo)出下面的式子：

 

 

同樣得到(x - a)² + (y - b)² = R²型的參數(shù)方程(方程3.17)。

 

求解等效阻抗

 

當(dāng)解決同時存在串聯(lián)和并聯(lián)元件的混合電路時，可以使用同一個史密斯圓圖，在需要進行從z到y(tǒng)或從y到z的轉(zhuǎn)換時將圖形旋轉(zhuǎn)。

 

考慮圖8所示網(wǎng)絡(luò)(其中的元件以Z0 = 50Ω進行了歸一化)。串聯(lián)電抗(x)對電感元件而言為正數(shù)，對電容元件而言為負數(shù)。而電納(b)對電容元件而言為正數(shù)，對電感元件而言為負數(shù)。

 

圖8. 一個多元件電路

 

這個電路需要進行簡化(見圖9)。從最右邊開始，有一個電阻和一個電感，數(shù)值都是1，我們可以在r = 1的圓周和I＝1的圓周的交點處得到一個串聯(lián)等效點，即點A。下一個元件是并聯(lián)元件，我們轉(zhuǎn)到導(dǎo)納圓圖(將整個平面旋轉(zhuǎn)180°)，此時需要將前面的那個點變成導(dǎo)納，記為A''''?，F(xiàn)在我們將平面旋轉(zhuǎn)180°，于是我們在導(dǎo)納模式下加入并聯(lián)元件，沿著電導(dǎo)圓逆時針方向(負值)移動距離0.3，得到點B。然后又是一個串聯(lián)元件。現(xiàn)在我們再回到阻抗圓圖。

 

圖9. 將圖8網(wǎng)絡(luò)中的元件拆開進行分析

 

在返回阻抗圓圖之前，還必需把剛才的點轉(zhuǎn)換成阻抗(此前是導(dǎo)納)，變換之后得到的點記為B''''，這篇文是轉(zhuǎn)自濾波器公眾平臺 用上述方法，將圓圖旋轉(zhuǎn)180°回到阻抗模式。沿著電阻圓周移動距離1.4得到點C就增加了一個串聯(lián)元件，注意是逆時針移動(負值)。進行同樣的操作可增加下一個元件(進行平面旋轉(zhuǎn)變換到導(dǎo)納)，沿著等電導(dǎo)圓順時針方向(因為是正值)移動指定的距離(1.1)——這個點記為D。最后，我們回到阻抗模式增加最后一個元件(串聯(lián)電感)。于是我們得到所需的值，z，位于0.2電阻圓和0.5電抗圓的交點。至此，得出z = 0.2 + j0.5 。如果系統(tǒng)的特性阻抗是50Ω，有Z = 10 + j25Ω (見圖10)。

 

圖10. 在史密斯圓圖上畫出的網(wǎng)絡(luò)元件

 

逐步進行阻抗匹配

 

史密斯圓圖的另一個用處是進行阻抗匹配。這和找出一個已知網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗是相反的過程。此時，兩端(通常是信號源和負載)阻抗是固定的；如圖11所示。我們的目標是在兩者之間插入一個設(shè)計好的網(wǎng)絡(luò)已達到合適的阻抗匹配。

 

圖11. 阻抗已知而元件未知的典型電路

 

初看起來好像并不比找到等效阻抗復(fù)雜。但是問題在于有無限種元件的組合都可以使匹配網(wǎng)絡(luò)具有類似的效果，濾波器公眾平臺提醒還需考慮其它因素(比如濾波器的結(jié)構(gòu)類型、品質(zhì)因數(shù)和有限的可選元件)。

 

實現(xiàn)這一目標的方法是在史密斯圓圖上不斷增加串聯(lián)和并聯(lián)元件、直到得到我們想要的阻抗。來源于濾波器公眾平臺提醒 從圖形上看，就是找到一條途徑來連接史密斯圓圖上的點；同樣，說明這種方法的最好辦法是給出一個實例。

 

我們的目標是在60MHz工作頻率下匹配源阻抗(ZS)和負載阻抗(zL) (見圖11)。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定為低通，L型(也可以把問題看作是如何使負載轉(zhuǎn)變成數(shù)值等于ZS的阻抗，即ZS復(fù)共軛)。下面是解的過程：

 

圖12. 圖11的網(wǎng)絡(luò)，將其對應(yīng)的點畫在史密斯圓圖上

 

要做的第一件事是將各阻抗值歸一化。如果沒有給出特性阻抗，選擇一個與負載/信號源的數(shù)值在同一量級的阻抗值。假設(shè)Z0為50Ω。于是

 

zS = 0.5 - j0.3, z*S = 0.5 + j0.3, ZL = 2 - j0.5。

 

下一步，在圖上標出這兩個點，A代表zL，D代表z*S

 

然后判別與負載連接的第一個元件(并聯(lián)電容)，先把zL轉(zhuǎn)化為導(dǎo)納，得到點A''''。

 

確定連接電容C后下一個點出現(xiàn)在圓弧上的位置。由于不知道C的值，所以我們不知道具體的位置，然而我們確實知道移動的方向。來源于濾波器公眾平臺提醒 并聯(lián)的電容應(yīng)該在導(dǎo)納圓圖上沿順時針方向移動、直到找到對應(yīng)的數(shù)值，得到點B (導(dǎo)納)。下一個元件是串聯(lián)元件，所以必需把B轉(zhuǎn)換到阻抗平面上去，得到B''''。B''''必需和D位于同一個電阻圓上。從圖形上看，從A''''到D只有一條路徑，但是如果要經(jīng)過中間的B點(也就是B'''')，就需要經(jīng)過多次的嘗試和檢驗。在找到點B和B''''后，我們就能夠測量A''''到B和B''''到D的弧長，前者就是C的歸一化電納值，后者為L的歸一化電抗值。

 

A''''到B的弧長為b = 0.78，則B = 0.78 × Y0 = 0.0156S。

 

因為ωC = B，所以C = B/ω = B/(2πf) = 0.0156/[2π(60 × 106)] = 41.4pF。

 

B''''到D的弧長為× = 1.2，于是X = 1.2 × Z0 = 60Ω。 由ωL = X，得L = X/ω = X/(2πf)= 60/[2π(60 × 106)] = 159nH。

 

圖13. MAX2472典型工作電路

 

第二個例子是MAX2472的輸出匹配電路，匹配于50Ω負載阻抗(zL)，工作頻率為900MHz (圖14所示)。該網(wǎng)絡(luò)采用與MAX2472數(shù)據(jù)資料相同的配置結(jié)構(gòu)，上圖給出了匹配網(wǎng)絡(luò)，來源于濾波器公眾平臺提醒 包括一個并聯(lián)電感和串聯(lián)電容，以下給出了匹配網(wǎng)絡(luò)元件值的查找過程。

 

圖14. 圖13所示網(wǎng)絡(luò)在史密斯圓a圖上的相應(yīng)工作點

 

首先將S22散射參數(shù)轉(zhuǎn)換成等效的歸一化源阻抗。MAX2472的Z0為50Ω，S22 = 0.81/-29.4°轉(zhuǎn)換成zS = 1.4 - j3.2, zL = 1和zL* = 1。

 

下一步，在圓圖上定位兩個點，zS標記為A，zL*標記為D。因為與信號源連接的是第一個元件是并聯(lián)電感，將源阻抗轉(zhuǎn)換成導(dǎo)納，得到點A’。 

 

確定連接電感LMATCH后下一個點所在的圓弧，由于不知道LMATCH的數(shù)值，因此不能確定圓弧終止的位置。但是，我們了解連接LMATCH并將其轉(zhuǎn)換成阻抗后，源阻抗應(yīng)該位于r = 1的圓周上。由此，串聯(lián)電容后得到的阻抗應(yīng)該為z = 1 + j0。以原點為中心，在r = 1的圓上旋轉(zhuǎn)180°，反射系數(shù)圓和等電納圓的交點結(jié)合A’點可以得到B (導(dǎo)納)。B點對應(yīng)的阻抗為B’點。

 

找到B和B''''后，可以測量圓弧A''''B以及圓弧B''''D的長度，第一個測量值可以得到LMATCH。電納的歸一化值，第二個測量值得到CMATCH電抗的歸一化值。

 

圓弧A''''B的測量值為b = -0.575，B = -0.575 × Y0 = 0.0115S。因為1/ωL = B，則LMATCH = 1/Bω = 1/(B2πf) = 1/(0.01156 × 2 × π × 900 × 106) = 15.38nH，近似為15nH。

 

圓弧B''''D的測量值為× = -2.81，X = -2.81 × Z0 = -140.5Ω。因為-1/ωC = X，則CMATCH = -1/Xω = -1/(X2πf) = -1/(-140.5 × 2 × π × 900 × 106) = 1.259pF，近似為1pF。

 

這些計算值沒有考慮寄生電感和寄生電容，所得到的數(shù)值接近與數(shù)據(jù)資料中給出的數(shù)值： LMATCH = 12nH和CMATCH = 1pF。

 

總結(jié)

 

在擁有功能強大的軟件和高速、高性能計算機的今天：人們會懷疑在解決電路基本問題的時候是否還需要這樣一種基礎(chǔ)和初級的方法。

 

實際上，一個真正的工程師不僅應(yīng)該擁有理論知識，更應(yīng)該具有利用各種資源解決問題的能力！在程序中加入幾個數(shù)字然后得出結(jié)果的確是件容易的事情，當(dāng)問題的解十分復(fù)雜、并且不唯一時，讓計算機作這樣的工作尤其方便。然而，如果能夠理解計算機的工作平臺所使用的基本理論和原理，知道它們的由來，這樣的工程師或設(shè)計者就能夠成為更加全面和值得信賴的專家，得到的結(jié)果也更加可靠。

 

 

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